Die meisten Erwachsenen scheitern an Wahrscheinlichkeitsrechnung – geht der Mathe-Unterricht an der Realität vorbei?

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REGENSBURG. Die meisten Erwachsenen verzetteln sich schnell, wenn es um das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten geht. Doch wie kann das sein, ist Stochastik doch ein wesentlicher Bestandteil des Mathematikunterrichts, dessen Praxisrelevanz auch noch weitgehend außer Frage steht? Wissenschaftler der Universität Regensburg sind dieser Frage nachgegangen.

Viele Schüler hoffen, dass sie mit der Schule die Stochastik hinter sich lassen können. Doch die Wahrscheinlichkeitsrechnung lauert nicht nur im Alltag an vielen Stellen sondern ist auch wesentlich für die bewusste Urteilsbildung. „In unserer heutigen Welt ist Prozent das häufigste Substantiv in den Tageszeitungen. Ohne das Verständnis für Wahrscheinlichkeiten würden wir nicht zurechtkommen.“, formuliert etwa Stefan Krauss, von der Universität Regensburg.

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Oft schadet es nur wenig, auf eine Wahrscheinlichkeitsschätzung zu verzichten. Doch im Leben ganz auf Stochastik zu verzichten, wäre schwieriger, als gemeinhin angenommen. Foto: Mattwide/ Pixabay (CC0 1.0)
Oft schadet es nur wenig, auf eine Wahrscheinlichkeitsschätzung zu verzichten. Doch im Leben ganz auf Stochastik zu verzichten, wäre schwieriger, als gemeinhin angenommen. Foto: Mattwide / Pixabay (CC0 1.0)

Hat die ungeliebte Wahrscheinlichkeitsrechnung ihren hohen Stellenwert in der Schule mithin zu Recht, zeigen Untersuchungen, dass regelmäßig rund drei Viertel der Studienteilnehmer an Aufgaben scheitern, bei denen es gilt, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen. Warum das so ist, hat Mathematikdidaktiker Krauss nun zusammen mit seinen Kollegen Karin Binder und Patrick Weber untersucht. 180 Personen stellten sie jeweils zwei Aufgaben – eine, die in Wahrscheinlichkeiten und eine die in Häufigkeiten formuliert war.

Den Unterschied erläutern die Wissenschaftler am Beispiel des Mammographie-Screenings zur Brustkrebsfrüherkennung: Mit dieser Methode könnten 80 Prozent der Fälle von Brustkrebs erkannt werden. Eine Frau erhält ein positives Ergebnis. Um nun die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass sie Brustkrebs hat, fehlen noch weitere Informationen: Insgesamt haben etwa ein Prozent der Frauen, die am Mammographie-Screening teilnehmen, Brustkrebs. Und die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau, die keinen Brustkrebs hat, ein positives Ergebnis erhält, liegt bei 9,6 Prozent (laut einer Studie von 1982). Die Berechnung der Brustkrebswahrscheinlichkeit der positiv untersuchten Frau mit den sogenannten bedingten Wahrscheinlichkeiten kann auf Basis dieser Daten im Beispiel (nach der Formel von Bayes) folgendermaßen berechnet werden: 0.8 * 0,01 / (0,8 * 0,01 + 0,096 * 0,99) = 0,07764 Das heißt, nur 7,8 Prozent der positiv getesteten Frauen haben Brustkrebs. Ein derart komplizierter Rechenweg dürfte im Alltag die meisten Menschen überfordern, bestätigt Weber: „Das ist für das Gehirn sehr komplex und es sind viele Rechenschritte nötig, um auf das gewünschte Ergebnis zu kommen.“

Bei der Rechnung mit natürlichen Häufigkeiten ergibt sich ein anderes Bild: Im Mammographie-Beispiel wäre von einer konkreten Anzahl an Frauen auszugehen: 100 von 10.000 Frauen, die am Mammographie-Screening teilnehmen, haben Brustkrebs. Von diesen 100 Frauen erhalten 80 ein positives Testergebnis. Aber auch 950 von den 9.900 gesunden Frauen erhalten ein positives Ergebnis. Insgesamt erhalten also 1.030 Frauen ein positives Ergebnis, davon sind aber nur 80 Frauen (7,8%) wirklich krank.

Dass das zweite Rechnungsbeispiel nicht nur einfacher scheint, haben Untersuchungen, zuletzt ein Berliner Studie im Jahr 2017 gezeigt. Aufgaben mit bedingten Wahrscheinlichkeiten konnten nur etwa vier Prozent der Teilnehmer lösen, während es bei Aufgaben mit natürlichen Häufigkeiten 24 Prozent waren.

Mit diesen Zahlen korrespondierte auch das Ergebnis der Regensburger Wissenschaftler: Während nur Wenige der 180 Studienteilnehmer die Wahrscheinlichkeitsangaben in Häufigkeiten umrechneten, „übersetzte“ etwa die Hälfte die intuitiven Häufigkeiten erst einmal in die komplizierteren Wahrscheinlichkeiten. Auf diesem komplizierten Lösungsweg konnten die Aufgabe dann nicht mehr lösen.

Den Grund dafür, warum sich so viele Menschen für den unintuitiven Rechenweg entscheiden, vermuten die Mathematikdidaktiker in der schulischen Ausbildung. Denn die Wahrscheinlichkeiten hätten im Gegensatz zu den Häufigkeiten einen angestammten Platz im Lehrplan. „Die Wahrscheinlichkeiten haben schon lange ihre Tradition und ihren Stellenwert in der Mathematik. So entsteht manchmal der Eindruck, dass sie mathematisch korrekter sind als die Rechnung mit Häufigkeiten“, erklärt Patrick Weber. „Das ist aber ein Trugschluss, denn Häufigkeiten können genauso mathematisch korrekt definiert werden.“

Damit sich künftige Generationen nicht mehr so leicht in Wahrscheinlichkeiten verzetteln, empfehlen die Wissenschaftler, auch das Format der natürlichen Häufigkeiten viel systematischer in den Mathematikunterricht einzubeziehen. Komplett auf die bedingten Wahrscheinlichkeiten verzichten sollte man aber nicht. Vielmehr müssten Schüler befähigt werden, so Katrin Binder, „mit diesen Wahrscheinlichkeiten umzugehen und sie vielleicht in einfachere Informationsformate, wie die natürlichen Häufigkeiten zu übersetzen“. (zab, pm)

• Originalpublikation: P. Weber, K. Binder and S. Krauss, “Why can only 24% solve Bayesian reasoning problems in natural frequencies: Frequency phobia in spite of probability blindness“, Frontiers in Psychology (2018)

Der Beitrag wird auch auf der Facebook-Seite von News4teachers diskutiert.

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15 KOMMENTARE

  1. Also, wo soll man da nur anfangen:
    1. Geht das zuerst genannte Beispiel mit der Wahrscheinlichkeit für Brustkrebs über das Anforderungsniveau eines mittleren Schulabschlusses deutlich hinaus, und man kann deshalb auch nicht erwarten, dass es viele Personen lösen könnten.
    2. Scheitern grundsätzlich viele Schüler und auch Erwachsene bereits daran, die Aufgabe sprachlich zu verstehen. Ich glaube nicht, dass ich irgendeinem (auch den besten Schülern), oder ihren Eltern diese Aufgabe geben könnte, ohne dass Verständnisfragen kommen würden. Hier werden tatsächlich nicht nur mathematische Fähigkeiten sondern auch sprachliche Fähigkeiten getestet.
    3. Ist das definitiv kein Beispiel, was man im Alltag als nicht Mathematiker häufig berechnen müsste. Im Grunde genommen wird alles aus der Schulzeit vergessen, was man nicht benötigt, das geht schon bei Schulstoff aus der Klasse 5 los. An so einem konstruierten Beispiel zu behaupten, dass man im Alltag die Wahrscheinlichkeitsrechnung viel häufiger benutzen muss als andere, finde ich einfach falsch und nicht belegt. Die Bruchrechnung zum Beispiel könnte man im Alltag weitaus häufiger praktisch benutzen, und sie kann trotzdem kaum noch jemand.

    Zusammenfassend finde ich also, dass die Rahmenbedingungen dieser Untersuchung nicht geeignet waren, um das zu ermitteln, was der Herr in seiner Studie zeigen wollte.

    • Wurde denn von einem mittleren Schulabschluss gesprochen? Ich konnte dazu keine Aussage in diesem Artikel finden. Dennoch haben Sie völlig Recht. Das ist eine Aufgabe für die Oberstufe und somit auch nicht sonderlich gut gewählt, wenn man wirklich die gesamte Bevölkerungsgruppe ansprechen möchte. In NRW ist dieses Thema noch nicht mal explizit im Kernlehrplan formuliert und auch nicht in jedem Schulbuch entsprechend enthalten. Selbst wenn hätte man für dieses Thema ungefähr 2-3 Schulstunden, wenn überhaupt. Also wieso wundert man sich immer noch darüber, dass von dem gelernten fast nichts behalten wird?

      Statt also den Schülern mehr Zeit zu geben die wirklichen Grundlagen zu lernen, gilt das Prinzip von Jahr zu Jahr die Wissenslücken zu vergrößern. Vielen täte es einfach gut, wenn man statt dem Oberstufenstoff nochmal die Grundlagen aus der Sek I wiederholen würde. Da tippen die Schüler in der Oberstufe Rechnungen wie 0,3*0,4 oder 6/48 in den Taschenrechner, weil sie einfach kein Gefühl für diese Thematik bekommen konnten in der Sek I. Was soll man da dann erwarten?

      Wenn mich jemand fragt wieso er oder sie das lernen muss, bin ich mittlerweile ganz ehrlich: es gibt keinen wirklichen Grund dafür. Es hat mal jemand so entschieden. All das was man in der Oberstufe lernt, wird an den Unis nicht vorausgesetzt. Man setzt jedoch voraus, dass jeder schriftlich addieren, multiplizieren, etc. kann oder mit Brüchen umgehen kann. Also die Beherrschung des Unter- und Mittelstufenstoffes.

      • bedingte Wahrscheinlichkeiten sind Stoff der Einführungsphase in NRW, der Satz von Bayes unter dem Namen nicht zwangsläufig.

        Ansonsten gebe ich Ihnen Recht. Allerdings setzt so ziemlich jeder Studiengang nichts von selbigem voraus. Ausnahme sind Sprachen.

        • Richtig. Bedingte Wahrscheinlichkeiten. Wie sie jedoch sagten, wird der Satz von Bayes eben oftmals unmotiviert und nebenläufig erwähnt, ohne diesen beim Namen zu nennen. In unserem Schulbuch wird der Satz erst in der Q2 eingeführt und in unserem Schulcurriculum wird er gar nicht erst erwähnt. Deswegen meinte ich ja, dass man sich dafür meist noch nicht mal 2-3 Stunden Zeit nimmt. Da werden dann 2-3 Aufgaben zu gemacht und gut ist. In der Vergangenheit konnte man dem Thema im Abitur sowieso aus dem Weg gehen, wodurch viele Schüler damit auch gar nicht in Berührung gekommen sind. Insofern macht es halt kein Sinn dieses Thema für die Studie auszuwählen.

          “Allerdings setzt so ziemlich jeder Studiengang nichts von selbigem voraus. Ausnahme sind Sprachen.”

          Soweit ich mich an meine damaligen Kommilitonen erinnere war die Beherrschung einer Sprache noch nicht mal Grundlage für ein Studium z.B. der Anglistik.

          • mein stand ist, dass die Beherrschung der englischen Sprache zu Beginn des Anglistikstudiums vorausgesetzt wird oder durch diese Crashkurse wie es sie für das Latinum gibt, nachgewiesen werden muss.

          • Ich habe definitiv gesehen, dass man an der Uni Bonn ein Lehramtsstudium mit Latein als Fach auch ohne Lateinkenntnisse beginnen kann. Man muss das Latinum dann bis zum Beginn des Masterstudiums nachholen. Das “NRW-Latinum” ist inzwischen übrigens weit weniger als das “große Latinum” früher. Es genügen 4 oder 5 Jahre Lateinunterricht in der Schule.

    • Wahrscheinlichkeitsrechnung orientiert sich in meinem Berufsfeld an der Anzahl der behandelten oder untersuchten Patienten um einen Erkrankten zu identifizieren oder zu heilen.
      Da wird dann eine Steigerung von 25 Prozent angegeben wenn 100.000 untersucht oder behandelt werden und statt 3 Personen 4 Personen bei dieser großen Zahl eher erkannt werden.
      Das Beispiel stammte aus der Mammographie. Gleichzeitig erkranken durch die weiche Strahlung, die sehr gut absorbiert wird ein vielfaches mehr an Patientinnen an Brustkrebs. Mit einem guten Ultraschallgerät gäbe es keine zusätzlichen Neuerkrankungen durch die Art der Untersuchung.
      Radiologen und Gynäkologen freuen sich über gute Geschäfte. On y soit,qui mal y pense.

  2. Zu bedenken ist, dass diese Art von Stochastik erst seit wenigen Jahren Standard-Schulstoff geworden ist. Alle Erwachsenen über 30 werden davon in ihrer Schulzeit kaum etwas gehört haben, jedenfalls nicht in dem heute üblichen Umfang. Aber auch die Abiturienten der jüngsten Zeit konnten sich vielfach noch um das Thema “Stochastik” herummogeln: im Abitur gab es Wahlmöglichkeiten. Auch wenn die Wahl häufig auf Lehrerseite lag, viele Lehrer mochten ihrerseits die Stochastik nicht, weil sie selber damit kaum etwas zu tun hatten und das eben auch nicht gut erklären konnten. Folglich mieden sie es und sorgten dafür, dass ihre Schüler im Abitur solche Aufgaben nicht bekamen. Das soll sich jetzt wohl ändern, aber die Umsetzung dauert noch. Prozentrechnung gab’s allerdings schon immer in der Schule, aber auch die wird nicht gekonnt. Man frage die Leute einfach mal, wie hoch die Mehrwertsteuer bei einem Brutto-Preis (also inkl. MwSt) von 100 Euro ist.

    • Marketingaktionen wie “Mehrwertsteuer zurück” sind eigentlich falsch, wenn einfach 19% Rabatt vom bruuttopreis abgezogen wird. die von emma genannten rund 16% sind mathematisch richtig, kan aber kaum jemand nachvollziehen.

      Den Zusatzgewinn von Fastfoodketten für takeaway im Vergleich zu vor Ort essen kaann auch nicht jeder ausrechnen.

      • “kann aber kaum jemand nachvollziehen”
        Um das nachzuvollziehen, braucht man nur auf den Kassenbon im (Lebensmittel-)Supermarkt zu gucken. Da is das säuberlich vermerkt, sogar mit zwei veschiedenen MwSt-Sätzen, nämlich 7 % und 19 %.

  3. Unser Lehrbuch für Wahrscheinlichkeitsrechnung hatte zwar Lösungen, die waren aber zu einem guten Teil falsch. So lernt man natürlich nicht die Stochastik. Aber auch Sachen wie Dreisatz wurden bei uns auf sehr merkwürdige Weise unterrichtet und die Lehrbücher erklärten auch nichts. Kein Wunder, wenn man dann Mathe nicht kann.

  4. Ich lache mich kringelig.
    1. Die gestellten Aufgaben sind realitätsfern.
    Für Erwachsene wäre eine griffigere Aufgabenstellung sinnbringender (wie auch für die SuS). Etwas aus dem Alltag der Erwachsenen wie SuS macht das Rechnen einfacher. Kann ja für Schüler bestimmter Jahrgangstufen auch eine Pokemonaufgabe sein.
    2. So bald die 10. Klasse beendet worden ist und die SuS in die Berufsschule kommen, haben die in den 6-8 Wochen doch alles wieder vergessen. So dass in der BS wieder bei Adam und Eva angefangen werden muss. Insbesondere Flächenberechnung, Dreisatz, Prozente sind unglaublich schnell vergessen.

    Mit dem Satz von Bayne(?) kann ich nichts anfangen und ich habe sowohl die Realschule als auch das Gymnasium besucht. Also kommt es auch noch auf die Lehrpläne der einzelnen Bundesländer an, was in den Schulen unterrichtet wird. Somit ist die Studie für mich nur bedingt aussagefähig. Zumal viele SuS dem Irrglauben aufsitzen, im Beruf weder Mathe noch Deutsch oder Englisch zubrauchen, die Überraschung kommt dann in der Berufsausbildung oder an der FOS/BOS (wo geglaubt wird, dass Mathe weniger anspruchsvoll wird.)

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